悬臂梁是常见的机械结构之一(见图1)，在结构设计中它被用作抗剪切弯曲的主要结构，同时在纳米工程领域也有广泛应用。分析纳米悬臂梁的弹性响应以及阐明应力和应变之间的关系在应用物理学中具备极其重大意义。然而，对纳米材料的机械性能进行直接测量是相当困难的，与宏观单轴拉伸测量不同，只能采用压痕测试方法。通过对纳米悬臂梁施加力，使用原子力显微镜或者纳米压痕仪观察纳米悬臂梁的弯曲变形，以推导出其杨氏模量，成为在微观尺度上测量材料力学性能的重要方法之一。

  图1 (a)纳米悬臂梁的扫描电镜(SEM)图像；(b)纳米悬臂梁示意图:长度L、宽度w、厚度t

  D. 反射镜：能够最终靠点击旁边的箭头来精确控制该设备，也可以直接拖动鼠标左键进行移动。

  H. PSD显示记录系统：能够最终靠点击旁边的箭头来精确控制该设备，也可以直接拖动鼠标左键进行移动。该系统在垂直和水平方向的边界均为±1 × 10-3 m 。

  L. PSD 记录历史：读数精确到0.0001×10-3 m，可记录最长时间为180 s。可以在图表上用鼠标左键或单击键盘上的箭头键来查询数据。

  N. 纳米梁载体：载体左上角位置坐标为(0,0)纳米梁安装在载体的顶部左边缘。

  V. 设置电流变化的按钮：请注意，加热或冷却样品的时间是参考真实实验的实际体验，不能随意重置。也就是说，如果样品因过大电流而过热，那么样品冷却的时间将增加。

  在微观尺度上，使用光学显微镜直接测量纳米悬臂梁的形变是十分艰难的，因此我们通过利用激光的准直性和反射性，并使用位置敏感探测器(PSD)做测量。实验中使用的纳米悬臂梁长度L约为100×10-6 m。

  A.1 请设计一条光路，使激光点照射到悬臂梁反射区域的中间。确保激光点能够稳定地出现在PSD 显示屏的原点附近，并在答题纸上绘制每个组件的相对位置(坐标和角度)。(0.6分)

  A.2 由于设备打开时悬臂梁会受到干扰，因此在大多数情况下要一段时间才可以做到稳定状态。开启设备后，程序界面右下角将显示光点在PSD 上的位置图像和时间。按下“记录”按钮后，每3 秒钟记录一次在环境扰动下光点在PSD上的位置d。请记录至少40 个数据点，然后按下“停止”按钮，停止数据获取。(0.8分)

  A.3 从A.2 的结果中选择一部分相对来说比较稳定的数据，计算在本实验环境条件下悬臂梁的测量基准值。(1.0分)

  注意:为便于测量，我们假设在环境扰动的影响下，悬臂梁已经处于稳定状态，也就是说，光学元件的振动不会影响测量结果。

  悬臂梁材料的杨氏模量能够最终靠在其自由端施加外力来获得，这能够最终靠使用原子力显微镜或纳米压痕仪来实现。通过对悬臂梁形变的测量，我们大家可以得到其杨氏模量。当向纳米悬臂梁施加力时，如果形变量不超过材料的弹性极限，则外力与其自由端形变之间的关系可以用下述公式表示:

  式中，F是在端点处施加的力，E是杨氏模量；I是梁的截面惯性矩，L 是悬臂梁的长度，δ是弯曲形变。截面惯性矩I 是反映物体在弯曲时其截面尺寸受到形变影响大小的物理量。截面惯性矩的值可以通过简单的积分计算得到。如图2 所示，如果一个悬臂梁的截面高度为t,宽度为w，那么其截面惯性矩可以通过积分计算:

  B.1 请设计外力为0N时的光路，使激光点打在悬臂梁反射区域的中间，并确保激光点能够稳定地出现在PSD 显示屏的中心附近。将数据记录在表格上以获得测量参考值d0。此时PSD 上光点的位置设置为位移Δd = 0 。然后在悬臂梁上施加5 个不同大小的外力，并将实验结果记录在答题纸上的表格中。(1.0分)

  B.2 填写表格。通过测量弯曲变形的大小绘制曲线，以弯曲形变δ作为y 轴，PSD 上光点位移的平均值

  注意:为了便于测量，我们假设在环境扰动的影响下，悬臂梁已经达到稳定状态，即光学元件的振动不会影响测量值。

  双层悬臂梁是一种常用于纳米工程的结构(如集成印刷电路板或纳米驱动器)。它由两层具有不同热膨胀系数的材料组成。根据铁木辛柯梁理论，需要考虑两种材料弯曲刚度的差异。图4 展示了一个由两层材料组成的双层悬臂梁，厚度分别为t1和t2，热膨胀系数分别为α1和α2，杨氏模量分别为E1和E2。

  其中，Pi为净作用力，ΔT 为温度差，w为宽度，r为曲率半径。净作用力需要被抵消，如图4 所示。合力矩M与净作用力Pi的关系为:

  其中，Ei为杨氏模量，Ii为转动惯量。边界条件要求应力连续，即γ1=γ2。在此边界条件下，能够获得以下方程:

  C.1 请设计一个带光路的简单实验图，使得激光束照在梁的反射区域中间位置附近。记录室温数据，找到测量基准d0，并以此为基准对应Δd = 0 。然后，将温度升高到更高的值，等待双层梁稳定后再记录数据。至少测量5 种不同温度的情况，并将数据记录在答题纸的表格中。(1.0分)

  C.2 填写表格。通过测量弯曲变形的大小绘制曲线，以弯曲形变量δ 作为y 轴，温度T 作为x 轴。通过数据分析计算斜率。可以使用B.3 中δ 和

  注意:为了便于测量，我们假设悬臂梁在环境扰动的影响下已经达到稳定状态，即光学元件的振动不会影响测量值。

  复合悬臂梁不仅可以用作纳米驱动器，还可以用作纳米传感器。例如，图6 展示了一个由双层悬臂梁组成的纳米蛋白质传感器，其表面融合有微流体通道，并涂敷蛋白质层。当不同的生物蛋白质被吸附到悬臂梁表面的时候，由于吸附分子之间的范德瓦尔斯相互作用力，使得蛋白质吸附作用在悬臂梁上产生表面应力以及可检测的弯曲形变。对于特定的蛋白质，这种应力的分布是唯一的。

  图6 (a)一种用于纳米传感器的双层悬臂梁，上层涂有蛋白质层；(b)悬臂结构的示意图(未按比例绘制)，其中上层由金属X制成，下层由硅制成

  本实验中使用的双层悬臂梁的示意图如图6(b)所示。长度L 约为100×10-6 m，w 约为35×10-6 m，t2约为0.2×10-6 m，t1约为0.04×10-6 m，下层为硅基底。硅的杨氏模量是280×109 Pa。样品0 和样品1 的覆盖率(CR)分别0 和1%。可以忽略悬臂梁上涂层分子的厚度和杨氏模量的影响，因为涂层分子的量很少且覆盖率较低。假设有效弯曲刚度EI*≈1.84×10-13 Nm2。

  D.1 为样品0 设计一条光路，使得反射激光点位于反射区域的中间，即激光点稳定出现在PSD屏幕的原点处。在答题纸表格中记录测量基准d0，设定激光点的位移Δd 为0 ，即Δd = 0 。然后用样品1重复实验。将你的答案记录在答题纸的表格中。请注意，在所有样本中样品1 的覆盖率(CR)最高。(0.6分)

  D.2 假设弯曲形变量δ 和覆盖率(CR)之间的函数形式可以表示为δ = C2(CR/EI* )L4 。基于D.1 中获得的数据，估算C2 的值。可以使用B.3 中δ 和

  D.3 使用样品2 和样品3，这两种样品吸附分子种类相同但覆盖率CR 不同。分别测量激光点在PSD上的位移Δd ，将数据记录在答题纸上。(0.8分)

  悬臂梁弹性测试是一种重要的材料机械性能评估手段，对于纳米尺度的材料尤其重要。直接测试纳米材料的机械参数，如杨氏模量和极限强度，是非常困难的，因为纳米结构太小，很难进行传统的单轴拉伸测试。然而，我们能够最终靠施加外力使纳米尺度的悬臂梁产生弯曲形变，并观察其变形来推断材料的参数。利用原子力显微镜可以精确施加并测量纳米级别的外力，为观察纳米悬臂梁的形变提供了一种有效的实验手段。经过测量悬臂梁的变形，我们可以根据弹性曲线理论计算出杨氏模量。这种方法避免了直接测量纳米结构在受力情况下的应变，而是通过观察悬臂梁的整体形变来推导材料的参数，因此更加可行。同时,这种办法能够在常温常压条件下进行，避免了其他方法中涉及的高温或真空条件，因此更适合测试生物材料等环境敏感的纳米结构。此外,悬臂梁测试可以同时提供杨氏模量在不同方向上的信息，可以评价材料的各向同性或各向异性，这也是其他测试方法难以实现的。总的来说，利用原子力显微镜测量纳米悬臂梁的形变能成为评价纳米材料机械性能的一种简便有效的手段，在纳米尺度上具有独特的优势和意义。

  将悬臂梁弹性测试等纳米科学前沿项目引入中学生物理奥赛，对于培养理科人才具有深远影响和很高的潜在价值。这类试题可以激发中学生的科学兴趣和探索精神，培养他们的科学思维方法和实验技能，推动中学教育的进步。纳米科学与工程作为未来科技发展的前沿领域，具有极强的吸引力。这样的前沿题目可以让中学生直接面向科学前沿，体验科学探索的乐趣，激发他们对前沿科学和技术的兴趣与热情。本题详细考察了设计的具体方案、理论分析、实验操作、结果解释等环节，全程锻炼了中学生的知识综合运用能力和独立思考能力。让中学生参与前沿科研，可以促使教师更新知识结构，完善教学内容；也可以鼓励高中学校提供更高水平的仿真实验师资和条件，使更多的学生受益。这对于中学教育的发展和进步具备极其重大的推动和促进作用。

  吴国祯教授：我的国外研究生经历印象——应清华大学物理系“基科班20年·学堂班10年纪念活动”而写

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